دراین مقاله می خواهیم به محاسبه ی سریع جمعی خاص بپردازیم.فرض کنید می خواهیم مجموع عددهای زیر را محاسبه کنیم:
1024و512و256و128و64و32و16و8و4و2و1
اگر کمی دقت کنیم,در می یابیم که هر عدد از دو برابر کردن عدد قبلی به دست می آید. مجموع این عددها برابر است با: 2047 .
از طرفی:
2047=1-1024×2
پس برای به دست آوردن مجموع فوق کافی است عدد آخر را در 2 ضرب کرده و عدد اول را از حاصل کم کنیم.
اکنون عددهای زیر را در نظر می گیریم:
3072و1536و768و384و192و96و48و24و12و6و3
باز هم هر عدد از دو برابر کردن عدد قبلی به دست آمده است.مجموع این عددها برابر است با: 6141 .
از طرفی:
6141=3-3072×2
پس برای به دست آوردن مجموع فوق کافی است عدد آخر را در 2 ضرب کرده و عدد اول را از حاصل کم کنیم.
اما اگر تعداد این گونه عددها زیاد شوند مثلا" اگر از 5 شروع کنیم و با دو
برابر کردن اعداد به عدد 10485760 برسیم و بخواهیم مجموع تمام اعدادی که از
این طریق به دست می آیند را محاسبه کنیم , مطمئنا" باید زمان زیادی صرف
کنیم. اما طبق همان روش که در دو مثال قبل به کار رفت ،می توان عدد آخر را
در 2 ضرب کرده و عدد اول را از حاصل کم کنیم ،در نتیجه خواهیم داشت:
20971515=5-2×10485760 = مجموع
اکنون باید قاعده ی کلی برای محاسبه ی این گونه مجموع ها را متوجه شده باشید.
اعداد زیر را در نظر بگیرید:
59049و19683و6561و2187و729و243و81و27و9و3و1
با کمی دقت متوجه می شویم که هر عدد از 3 برابر کردن عدد قبلی به دست می آید.مجموع این عددها برابر است با : 88573 .
از طرفی:
 
اکنون اعداد زیر را در نظر بگیرید که هر عدد از 3 برابر کردن عدد قبلی به دست می آید:
45927و15309و5103و1701و567و189و63و21و7
1240029و413343و137781و
مجموع این عددها برابراست با : 1860040 .
از طرفی:
اکنون باید قاعده ی کلی برای محاسبه ی چنین جمع هایی را متوجه شده باشید.
تمرین : اگر از 5 شروع کنیم و با 3 برابر کردن عدد ها در نهایت به عدد 17433922005 برسیم . مجموع این عددها را به دست آورید.
اعداد زیر را در نظر بگیرید :
1048576و262144و65536و16384و4096و1024و256و64و16و4و1
با کمی دقت متوجه می شویم که هر عدداز 4 برابر کردن عدد قبلی به دست می آید. مجموع این عددها برابر است با : 1398101 .
از طرفی :
اکنون اعداد زیر را در نظر بگیرید که هر عدد از 4برابرکردن عدد قبلی به دست می آید.
2359296و589824و147456و36864و9216و2304و576و144و36و9
مجموع این عددها برابر است با : 3145725 .
از طرفی:
اکنون باید قاعده ی کلی برای محاسبه ی چنین جمع هایی را متوجه شده باشید.
تمرین:اگر از 3 شروع کنیم و با 4 برابر کردن عددها در نهایت به عدد 3298534883328 برسیم. مجموع این اعداد را به دست آورید.
از این بحث ها یک روش کلی برای محاسبه ی جمع هایی که در آن ها هر عدد از ضرب عدد قبلی در مقداری ثابت به دست می آید، حاصل می شود.
مثلا" اگر از 4 شروع کنیم و با 17 برابر کردن عددها در نهایت به عدد 5679428 برسیم مجموع این عدد ها برابر است با:
|
