مسـله ی زنبور

اگر زنبوری روی جدار خارجی یک لیوان بنشیند و با خوشحالی یک قطره ی شهد را در روبروی خود (روی جدار داخلی لیوان) ببیند،‌به نظر شما چگونه می‌تواند کوتاه ترین راه را برای رسیدن به قطره ی شهد پیدا کند؟ شکل زیر را ببینید.

   

ارتفاع و قطر لیوان به ترتیب20 و10 سانتی‌متر بوده و فاصله‌ی قطره ی شهد از لبه‌ی بالایی لیوان 3 سانتی‌متر است . (از ضخامت جداره ی لیوان صرفنظر می شود.)

برای حل این مسأله ، سطح جانبی لیوان (استوانه‌ای شکل) را باز می‌کنیم تا مستطیلی به ابعاد 20 و 4/31(محیط قاعده ی استوانه ) سانتی متر به دست آید .

 

ما باید نقطه‌ای از لبه‌ی لیوان را پیدا کنیم که زنبور ضمن عبور از آن ، کوتاه ترین راه را طی کند .مانند شکل زیر از نقطه‌ی B عمودی بر طول مستطیل اخراج کرده و به همان اندازه امتداد می دهیم تا نقطه‌ی C به دست آید. از نقطه‌ی C به A وصل می‌کنیم تا طول مستطیل را در نقطه‌ی D قطع کند. در این صورت برای هر نقطه ی P بر طول مستطیل خواهیم داشت: .

 

و BD=CD . فاصله‌ی زنبور و قطره برابر است با نصف محیط قاعده ی استوانه. (چون زنبور و قطره روبه‌روی هم قرار دارند) پس : سانتی‌متر 7/15 =AB.

سانتی متر
سانتی متر

اکنون صفحه ی مستطیلی شکل را مجددا" به شکل استوانه در می آوریم ، در نتیجه زنبور باید مسیر AD را روی جدار خارجی لیوان و مسیر BDرا روی جدار داخلی لیوان طی کند تا کوتاه ترین راه را طی کرده باشد و این برابر 8/16 سانتی متر می باشد .