تقارن

در این مقاله یکی از مفاهیم مقدماتی در هندسه یعنی مفهوم تقارن در صفحه را مورد بررسی قرار می دهیم . پیش از هرچیز لازم است که دو تعریف یعنی قرینه نسبت به یک نقطه و قرینه نسبت به یک خط را بیان کنیم .  

تعریف 1 : نقطه ی را قرینه ی نقطه ی A نسبت به نقطه یO گوئیم هرگاهA را به اندازه ی 180 درجه حولO درصفحه دوران دهیم به برسیم .

با توجه به این تعریف نقطه ی O وسط پاره خط خواهد بود .

 

تعریف 2 :نقطه ی را قرینه ی نقطه یA نسبت به خط dگوئیم هرگاه Aرا به اندازه ی 180 درجه حول d در فضا دوران دهیم به برسیم .

باتوجه به این تعریف، خط d عمود منصف پاره خط خواهد بود .

اکنون نوبت آن است که مفاهیم مرکز تقارن ومحور تقارن را تعریف کنیم .

تعریف مرکز تقارن : شکل S در صفحه مفروض است . نقطه ی O را مرکز تقارن Sگوئیم هر گاه قرینه ی هر نقطه واقع برS نسبت به O، برS واقع شود .

تعریف محور تقارن : شکلS در صفحه مفروض است . خط dرا محور تقارن Sگوئیم هر گاه قرینه ی هر نقطه واقع برS نسبت به d، برS واقع شود .

اکنون به بررسی چند سوال به همراه جواب آن ها می پردازیم :

سوال 1 : آیا وجود مرکز تقارن برای یک شکل ، وجود محور تقارن را برای آن ایجاب می کند ؟
پاسخ 1 : خیر – به عنوان مثال در متوازی الاضلاع محل برخورد قطرها ، مرکز تقارن است ،اما متوازی الاضلاع محور تقارن ندارد .

سوال 2 : آیا وجود محور تقارن برای یک شکل ، وجود مرکز تقارن را برای آن ایجاب می کند ؟
پاسخ 2 : خیر – به عنوان مثال در مثلث متساوی الساقین زیر ، ارتفاع مشخص شده ، محور تقارن است اما این مثلث مرکز تقارن ندارد .

 

سوال 3 : آیا مرکز تقارن می تواند بر خود شکل واقع شود ؟
پاسخ 3 : بله – به عنوان مثال برای شکل زیر، مرکز تقارن بر خود شکل واقع است .

 

سوال 4 : آیا محور تقارن می تواند شکل را در بی نهایت نقطه قطع کند ؟
پاسخ 4 : بله – به عنوان مثال در شکل زیر محور تقارن شکل را در بی نهایت نقطه قطع می کند .

 

سوال 5 : شکلی دارای لااقل دو محور تقارن متقاطع است . آیا محل برخورد این محورها ، مرکز تقارن شکل است ؟
پاسخ 5 : لزوما" این طور نیست ، به عنوان مثال در مثلث متساوی الاضلاع ،سه محور تقارن داریم که همانا میانه های مثلث هستند اما محل برخورد میانه ها ، مرکز تقارن شکل نیست .

سوال 6 : آیا محور تقارن لزوما" شکل را قطع می کند ؟
پاسخ 6 : خیر- به عنوان مثال ، شکل زیر را درنظر بگیرید .

سوال 7 : آیا یک شکل می تواند بی نهایت مرکز تقارن داشته باشد ؟
پاسخ 7 : بله – ادعا می کنیم خط  d دارای بی نهایت مرکز تقارن است . اگرO نقطه ی دلخواهی بر d باشد، آن گاه O مرکز تقارن d است چرا که برای نقطه ی دلخواه  A بر d، قرینه ی A نسبت به O نقطه ای چون  بر d خواهد بود .

 

سوال 8 : آیا یک شکل می تواند بی نهایت محور تقارن داشته باشد ؟
پاسخ 8 : بله – دایره را در نظر بگیرید .

سوال 9 : آیا یک شکل می تواند بی نهایت مرکز و محور تقارن داشته باشد ؟
پاسخ 9 : بله – همان طور که در سوال 7 دیدیم خط دارای بی نهایت مرکز تقارن است . ادعا می کنیم خط بی نهایت محور تقارن نیز دارد .

برای خط دلخواه d اگرخط D عمود دلخواهی بر d باشد آن گاه D محور تقارن dاست چرا که برای نقطه ی دلخواه A بر d ، قرینه ی A نسبت به D نقطه ای چون بر d خواهد بود .

سوال 10 : آیا یک شکل می تواند محور های تقارن موازی داشته باشد ؟
پاسخ 10 : بله – به عنوان مثال ، خط را در نظر بگیرید .